前回の日記の続きです。

２回目の授業は、導入から全く異なったものになっていました。どうやら授業者は当初の指導案を完全に捨てたようです。証明のための戦略を考える授業に変えたようです。
まずは、子どもたちに九点円に興味を持たせることから始めました。ユーモアを交えて子どもたちとやりとりしながら進めていきます。授業者の個性が活きています。三角形の形を変えても、いつも９つの点が同じ円周上にありそうだと気づかせます。
続いて、同じ円周上にあることを言うためにはどんなことが言えればいいのかを聞いていきます。「何とかして円周角を……」といった言葉が出てきます。子どもの言葉を受けて授業者がすぐに言葉を足して説明します。時間がないということもあったのでしょうが、どうも物わかりがよすぎます。子どもたちが優秀なのか、かなり不十分な説明でも疑問を持たずに過ぎていきます。数学としては押さえるところはきちんと押さえておきたいところでした。「内接四角形を探す」「対角（の和）が１８０°のものを見つける」といった言葉が続き、「どんなのでもいい？」という問いかけに「長方形」「正方形」といった言葉が返ってきます。ここで「４つは見つかる」とまとめます。「（９つはいきなり無理でも）４つ（の点が同じ円周上にあるの）は見つかる」ということなのでしょうが、ちょっと言葉が雑です。もう少していねいに押さえておきたいところでした。

「どうしたらいい？」と子どもたちに問いかけると、「９つの（点）を３つずつ重ねる」という意見が出ます。授業者はうまく処理できませんでしたが、「それってどういうこと」ともう少しこの考えも聞いてみたいところでした。おそらく、「３つの点であれば外接円をかけるから、それが一致することを言えばいい」と考えたのだと思います。上手くいくかどうかは別にしてこれも立派な方向性ですから評価したいところでした。
「４つ適当にとる」という意見も出ます。「適当」に反応して「ある程度適当にとる」という言葉も出てきます。「仲間の点（垂線の足、垂心と頂点を結ぶ線分の中点、各辺の中点）を３つ結んで三角形を３つつくる」といったアイデアもあります。子どもたちからいろいろ意見が出たのですが、「どういう風にしたら内接四角形ができる？」と授業者が方向性を決めてしまったのが残念でした。子どもたちで方向性を決めさせたいところでした。

ここでiPadの登場です。今回は、だれもiPadを立てません。下に置いて額を寄せ合って見ています。先ほどの授業とは全く様子が違います。子どもたちの課題となっていたのです。幾何ツールをまだ使い慣れていないのか上手く線分をひけません。悪戦苦闘をしながらいろいろな図をかいています。とてもよい姿です。ここで、長方形を見つけたグループのiPadをスクリーンに映します。長方形になっていたのですが、結ぶ点が違っていたため三角形を変形すると崩れます。するとあるグループが声を上げます。言いたくてしょうがないという様子です。このグループの図は崩れないのです。授業者が取り上げ、この図の三角形を変形して見せ、いつでも長方形になっていることを示しながら「すごくなーい」と子どもたち問いかけます。幾何ツールのよさが実感できます。検討会で確認したところ、きちんとできているグループがあることを知っていて、あえて上手くいかないグループを先に発表させたようです。なかなかインパクトのある演出でした。

子どもたちから、もう一つの長方形に気づく声が出てきます。対角線が「重なっている」「同じ」といった説明に、「なんでー？」といった声が返ってきます。重なっている対角線を示して出てきた「直径」という言葉に、今度は「すごいじゃん」と反応します。子どもたちが真剣に授業に参加し、心が動いていることがよくわかります。６点が同一円周上にあることが言えることがわかり、「残り３点はどうなのか？」を次の課題として投げかけました。ここで残り１５分です。かなり時間的に苦しいと思ったのですが、ここからの子どもたちの頑張りは目を見張るものがありました。それぞれがワークシートの図を見ながら考えているのですが、残り３点ではなく、その前にきちんと長方形になる証明をしなければとこだわっている子どももいます。どの子どもも真剣です。友だちに語りかけるともなく「○○じゃない？」というつぶやきが聞こえてきます。それに対して、自分のことに集中していると見えた子どもが反応します。個別に活動しているように見えるのですが、見事にかかわり合っていました。

残り３点について、全体の場でわかった子どもが説明します。説明を聞きながら「あー本当だ」「言えてる」といった声が上がります。子どもたちが素早く理解できているのは、幾何ツールを使っていろいろ試した時間が効いているように思いました。しかし、全員がすぐに理解できてはいないので、ここで少し止めて、まわりと相談、確認をさせたいところでした。子どもたちから、つぶやきが出てくることはとてもよいのですが、まだまわりとはすぐに相談しません。自然に相談できるようにしたいところです。
九点円の証明の流れをほぼ子どもたちが理解できたところで、時間となりました。ここで、「長方形になることを言わないといけない。説明したい」という子どもが出てきました。どうしたものかと授業者が思案しましたが、他の子どもたちも聞きたいという姿勢を見せます。授業者は延長する覚悟を決めました。説明を聞く子どもたちの姿は真剣そのものです。視線が発表者に突き刺さるようです。一つの三角形で説明し終わったあと、「もう片方も同じでいける“はず”」と言葉をつなげました。素晴らしい発言だと思います。“はず”という言葉には、必ず言えるという確信があるということです。この言葉を評価して、数学的な価値を伝えたいところでした。
最後に授業者が「これで９点全部について証明できたことになったのかな？」と問いかけ、子どももたちから「はい」という返事が返ってきました。「ここまでできると思っていなかった。すごい」と子どもたちをほめると自然に拍手が出て終わりました。
子どもたちは九点円の証明が理解できてスッキリしたように見えました。しかし、授業後一部の子どもが黒板の前で話しています。説明がまだ理解できていなかった子どもたちが、相談していたのです。何となくではなく、きちんと最後まで理解したいという気持があるからこそ、こういった姿が見られるのです。子どもたちの課題になっていたということです。とても素晴らしいと思いました。

この授業だけを見ていたら、おそらく「子どもたちが素晴らしい」といった感想を持って終わったでしょう。しかし、先ほどの授業を見ているから、子どもの質ではなく授業のあり方で子どもの姿が変わることにはっきりと気づくことができました。この研究会にはずいぶんと長い間かかわってきましたが、これほど大きく指導の内容を変え、これほど大きく子どもたちが変わったことは初めての経験でした（子どもたちの様子が劇的に変わった例はありますが、指導の内容は大きくは変わっていませんでした）。

２回目の検討会では、子どもたちの様子が劇的に変わったことを中心として、何がよかったのかについて多くの時間が割かれました。
授業者はある意味居直って、どこまでいけるかわからないが子どもたちに任せる気持ちになったようです。最後まで証明ができるとは少しも思っていなかったようです。子どもたちに任せようとした結果、授業者の個性が活かされ、うまく子どもたちの言葉を引き出すことができました。子どもたちが集中して授業に参加した大きな要因だと思いました。
参加者からは、「図を動かしてみせたりして、子どもたちに『あれ？』と疑問を持たせたことが、子どもたちの課題となった大きな要因だ」「子どもたちが額を寄せ合ってiPadを操作していてことから、子どもたちの課題となっていたことがわかった」「幾何ツールを操作することで、課題が深まり思考を促した」「子どもたちの課題となっていたから、自然にかかわり合うことができていた」といった意見がたくさん出ました。この２つの授業から多くのことを学んでいただけたと思います。

最後に各グループの活動のビデオ撮影などで参加してくれた学生さんたちにも感想と意見を聞かせてもらいました。授業者の「指導案を捨てる」という言葉が印象に残ったようで、指導案を捨てることが時に大切だということを学んだという発言がたくさん出てきました。「指導案を捨てて、子どもたちに柔軟に対応すること」はとても大切です。しかし、今回の授業はそういったものではありません。予定していた指導案は捨てましたが、代わりの指導案は書かないまでもある程度頭にはあったはずです。というか、それまでいくつも指導案を考えてきたからこういった対応も可能になったのです。「指導案を捨てた」と一言で言えることではないのです。学生さんたちがもしこれをやってしまえば、十中八九授業は迷走すると思います。このことに気づいてほしかったのですが、時間の関係もあり指摘する意見を拾うことはできませんでした。申し訳ないことをしました。

同じ題材やツールを使っても、授業の構成によって子どもたちの姿は大きく異なってしまいます。課題の見せ方、与え方で子どもたちのツールの使い方も大きく異なります。教師が素材や道具をどのように活かして組み立てるかで、授業は全く別のものに変わります。授業の奥深さを改めて実感しました。