子どもたちの学び合いでは、課題が大切だとよく言われます。特に子どもたちが大きくジャンプするような課題が求められますが、このような課題を考えることはなかなか難しいと感じています。いつも学ばせていただいている先生から、数学におけるジャンプの課題について、考えていることをメールで教えていただきました。その一部を引用します（順序等も変えていることをお許しください）。

授業ではともすると、解答とそれが正しい理由が扱われて進んでいくのですが、その解答を導き出すための思考過程を言語化させていることが少ない、これこそジャンプの課題となるのではないかと考えたのです。

例えば、なぜそこに補助線を引くことになったのか、
引けばよいのか、
引かざるをえなくなったのかを考えさせることです。

なるほど、これは大切なことです。私なりに勝手に解釈すれば、問題を解く、解決するメタな考えを問うことです。
図形の問題であれば、知っていること（平行線に関する知識、三角形や平行四辺形に関する知識、合同や相似）、わかっていること（仮定、仮定からすぐにいえること）、いえればいいこと（結論、結論つながりそうなこと、結論の一つ手前、中間の結論）を整理する。その上で、もし手掛かりが見つからなければ、補助線を引くことで知っていることが使えないか、知っている図形をつくることができないか考える。
こういうことを子どもたちに問題を通じて具体化させることだと思います。
しかし、これは数学の授業であれば本来、常に問い続けなければいけない課題のようにも思います。とはいえ、若い教師では、教師自身がこうやって解くものだと信じ、なぜここに補助線を引くのだと聞いても、こうやると解けるとしか答えられないこともよくあります。こうなると、教師にとってもジャンプの課題になってしまいますね。

このメールをきっかけに、私なりのジャンプの課題の考え方について少し書いてみたいと思います。まだきちんと整理できていないので、うまく切り分けられていないことをあらかじめお詫びします。

・多様なアプローチがあり、そのアプローチに汎用性があるもの
たとえば、中学受験などでよく見る、階段のあがり方の場合の数。階段を１度に１段か２段あがるとき、ｎ段あがる場合の数を求める（もちろんｎ段でなく、１０段などとしてもよいのですが）。
答はよく知られているようにフィボナッチ数列（前の２つの場合を足した合計になる）です。アプローチとしては、表を使って性質を見つける。しかし、これでは絶対的に正しいとは言えません。そうなる理由を考えなければいけません。数学における帰納的な考え方（漸化式）、具体的にはｎ段にたどり着くには、その前はどうなっているのか（先ほどの図形の例における結論の一つ手前と重複しますが）という汎用的な考え方を使うことになります（ｎ段にたどり着くには、その一つ手前はｎ−１段かｎ−２段）。

・知識を現実の問題に応用するもの
現実の問題ですから、絶対的な答えがないものもあります。それも含め、現実的な答を考えることで、学ぶ意味を知るというのは大切なことと思っています。
たとえば、過去のイベントの来場者数のデータから景品の数をいくつ準備するか考え、その根拠を数学的な用語を使って説明する。
平均でよいのか。平均より多かったら足りなくなる。最大値でよいのか。超えるかもしれない。大量に余るかもしれない。平均値にどのくらい足そうか。最頻値を基準に考えた方がよいのではないか。正解はありませんが、平均・最頻値などの統計指標や統計そのものの意味などを考えることにつながります。

・いつでも成り立つか、逆は成り立つかを問うもの
小中学校では（高等学校でもよくありますが）、具体例で確かめただけできちんといつも成り立つか確認していないものや、逆は成り立つのかを考えていないことがよくあります。
たとえば、比例や１次関数の性質には、変化率が一定であることや１増えれば同じ数だけ増えるということがあります。これは、本当にいつもいえるのか。逆に、変化率が一定である、１増えれば同じ数だけ増える関数は比例になるのか、１次関数になるのか。ならなければどういう条件があればいいのか。
いつも成り立つのかは、文字をうまく使うなどしなければきちんといえません。逆の問題であれば、変化率が一定のときでも、原点を通るといった条件がなければ、比例にはなりません。また、１増えれば同じ数だけ増えるという条件では、（定義域を）整数に限定するなどしなければ１次関数にはなりません。教科書の問題でほとんどの場合、１次関数でと条件に１次関数であることを入れている理由の一つです。

・定義の理由を考える
こう決めるということには、何らかの合理性があります。その意味を考えることで本質に気づくことができます。
たとえば、君たちなら、角度をどう定義するか。
定義そのものでもよいですが、１周を何度にするかでもよいかもしれません。３６０°にした意味を考えるだけでも色々なことに気づけると思います（理科の問題かもしれませんが・・・）。このことを考えることで、扇形の周や面積の問題は、定義から自明となります。

・教育課程の範囲を超えている、一般的な理論があることを、限定された条件や具体例で考えさせる。
これは、今までの例をほとんどカバーしていることかもしれません。誰も思いつかないような素晴らしい課題をそう簡単に思いつくわけがありません。先ほどまでの視点で、小学校であれば中学校の、中学校であれば高等学校の内容と、この先学習することから課題のネタを拾ってくるのです。フィボナッチ数列の例は言わずもがな、統計の例は、現実には分布がどのようなものになるか、標準偏差や危険率などの問題から考えることを、できる範囲で考えさせているわけですし、比例や１次関数の例は、関数の連続性や微分、関数方程式やカントール集合の問題などにもつながっています。角度の問題だって、孤度法にもつながります。（数学の先生でない方はこのあたりは読み飛ばしてくださいね）
たとえば、２の平方根は、循環小数にはなりそうもないと確かめていますが、有理数（分数）で表せないことは、きちんと平方根の意味を教えていれば、中学生にもチャレンジできる問題となります（背理法といった難しい言葉を使はなくてもいいのですから）。

ここであげた例が、現実にすぐに子どもがチャレンジできる課題かどうかはわかりません。それまで子どもたちがどのような課題に取り組んでいたかにもよるでしょう。最初にちょっと揶揄した書き方をしましたが、子どもにとってジャンプの課題は、教師にとってもジャンプの課題です。教師が積極的にチャレンジしていかなければ、子どものジャンプは期待できないと思います。皆さんがチャレンジしておもしろかったジャンプの課題があれば、ぜひ教えてください。また機会があれば、他の教科のジャンプの教材についても紹介したいと思います。